Análisis Matemático II es una materia dependiente del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires y se ubica en el primer cuatrimestre del segundo año del plan de estudios de las carreras Ing. Sistemas, Lic. Cs. Físicas, Lic. Cs. Matemáticas, Lic. Tecnología Ambiental, Prof. Física y Prof. Matemática.

PROGRAMA ANALÍTICO 2021

UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Introducción. Funciones de varias variables . Campos escalares y vectoriales. La métrica euclídea. .Conjuntos abiertos y cerrados. Entornos. Límites. Propiedades. Continuidad. Límites iterados y por caminos. Derivada de un campo escalar respecto a un vector.. Derivadas direccionales y derivadas parciales. Derivadas parciales de orden superior.La diferencial. Gradiente. Matriz Jacobiana. Derivada direccional y gradiente. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas de la derivada. Derivada de funciones definidas implícitamente. Teorema de la función inversa. Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares. Máximos, mínimos y puntos de ensilladura. Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos y tres variables. Matrices hessianas Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. 

UNIDAD II: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Introducción. Definición de integral múltiple para funciones definidas y acotadas en un rectángulo. Interpretación geométrica. Extensión a regiones más generales. Cálculo de la integral doble o triple por integraciones simples sucesivas: Teorema de Fubbini. Integrabilidad de funciones continuas. Aplicaciones: cálculo de área y de volumen. Cambio de variables en una integral doble. Aplicaciones. Extensiones a un mayor número de dimensiones. 

UNIDAD III: INTEGRALES DE LÍNEA 

Introducción. Definición. Propiedades fundamentales. Aplicaciones. El trabajo como integral de línea. Integrales de línea respecto a la longitud de arco. El primer y segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea. Independencia del camino. Condiciones necesarias y suficientes para que una función vectorial sea un gradiente. Construcción de la función potencial a partir del gradiente. Teorema de Green en el plano para regiones simplemente conexas. Aplicaciones. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. Forma vectorial del teorema de Green. 

UNIDAD IV: INTEGRALES DE SUPERFICIE 

Introducción. Representación paramétrica de una superficie. Producto vectorial fundamental. Área de una superficie paramétrica. Integrales de superficie. Cambio de representación paramétrica. Teorema de Stokes. El rotor y la divergencia de un campo vectorial. Aplicaciones.. Teorema de la divergencia (Gauss). Aplicaciones del teorema de la divergencia.