Programa analítico

UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Introducción . Funciones de Rn en Rm Campos escalares y vectoriales. La métrica euclídea en Rn . Conjuntos abiertos y cerrados. Entornos. Límites. Propiedades. Continuidad. Límites iterados y por caminos. Derivada de un campo escalar respecto a un vector.. Derivadas direccionales y derivadas parciales. Derivadas parciales de orden superior.. La diferencial. Gradiente. Matriz Jacobiana. Derivada direccional y gradiente. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas de la derivada. Derivada de funciones definidas implícitamente. Teorema de la función inversa. Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares. Máximos, mínimos y puntos de ensilladura.. Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos y tres variables. Matrices hessianas  Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.


UNIDAD II: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Introducción. Definición de integral múltiple para funciones definidas y acotadas en un rectángulo. Interpretación geométrica. Extensión a regiones más generales. Cálculo de la integral doble o triple por integraciones simples sucesivas: Teorema de Fubbini. Integrabilidad de funciones continuas. Aplicaciones: cálculo de área y de volumen. Cambio de variables en una integral doble. Aplicaciones. Extensiones a un mayor número de dimensiones.


UNIDAD III: INTEGRALES DE LÍNEA

Introducción. Definición. Propiedades fundamentales. Aplicaciones. El trabajo como integral de línea. Integrales de línea respecto a la longitud de arco. El primer y segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea. Independencia del camino. Condiciones necesarias y suficientes para que una función vectorial sea un gradiente. Construcción de la función potencial a partir del gradiente. 

Teorema de Green en el plano para regiones simplemente conexas. Aplicaciones. Forma vectorial del teorema de Green.


UNIDAD IV: INTEGRALES DE SUPERFICIE

Introducción. Representación paramétrica de una superficie. Producto vectorial fundamental. Área de una superficie paramétrica. Integrales de superficie. Cambio de representación paramétrica. Teorema de Stokes. El rotor y la divergencia de un campo vectorial. Aplicaciones.. Teorema de la divergencia (Gauss). Aplicaciones del teorema de la divergencia.


UNIDAD V: ECUACIONES DIFERENCIALES

Introducción. Terminología y notación. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Teorema de existencia y unicidad de las soluciones. Ecuaciones separables de primer orden. Ecuaciones homogéneas de primer orden. Ecuaciones exactas. Factor integrante. Ecuaciones lineales de segundo orden a coeficientes constantes.